流形

定义一(n维流形)
拓扑空间(M,F)(M,\mathscr{F})称为nn维微分流形, 若MM有开覆盖{Oα}\{O_{\alpha}\}满足:

  • 每一个OαO_\alpha, \exist同胚映射ψα:OαVα\psi_\alpha:O_\alpha\rightarrow V_\alpha, 其中VαV_\alphaRn\R^n的开子集
  • OαOβO_\alpha\cap O_\beta\ne\emptyset, 则ψβψα1\psi_\beta\circ\psi_\alpha^-1是光滑的

其中, 上面的第二条称为相容性条件.

图册

定义二(图, 图册, 坐标系)
一个(Oα,ψα)(O_\alpha,\psi_\alpha)称为一个(局域)坐标系, OαO_\alpha称为坐标域.
坐标系(Oα,ψα)(O_\alpha,\psi_\alpha)在数学上又叫图, 满足定义一的开覆盖的图的集合{(Oα,ψα)}\{(O_\alpha,\psi_\alpha)\}称为图册.

定义三(微分结构)
对于拓扑空间MM上的两个图册{(Oα,ψα)}\{(O_\alpha,\psi_\alpha)\}{(Oβ,ψβ)}\{(O_\beta,\psi_\beta)\}:

  • 若两个图册不相容, 则称两个图册把MM定义为两个不同的微分结构
  • 若两个图册相容, 则将其合并为同一个图册, 我们总是选择最大的图册讨论.

定义四(流形上的映射)
MMMM'分别为nnnn'维的流形, {(Oα,ψα)}\{(O_\alpha,\psi_\alpha)\}{(Oα,ψα)}\{(O'_\alpha,\psi'_\alpha)\}为两者的图册.
f:MMf:M\rightarrow M'为流形上的映射, 则ff称为CrC^r类映射若pM\forall p\in M, ψβfψα1\psi_\beta'\circ f\circ\psi^{-1}_\alphaCrC^r类映射.

定义五(微分同胚)
流形MMMM'为互相微分同胚的, 若f:MM\exist f:M\rightarrow M', 满足:

  • ff为双射(即一一映射)
  • fff1f^{-1}CC^{\infty}